Một số phương pháp giải các bài toán về tỉ lệ thức - Tài liệu tham khảo

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
3)
dc
dc
ba
ba
+

=
+

4)
( )
( )
2
2
dc
ba
cd
ab


=
Bài 2: Cho
d
c
c
b
b
a
==
. Chứng minh rằng:
d
a
dcb
cba
=






++
++
3
Bài 3: Chứng minh rằng nếu :
d
b
b
a
=
thì
d
a
db
ba
=
+
+
22
22
Bài 4: Cho
dc
dc
ba
ba

+
=

+
. CMR:
d
c
b
a
=
Bài 5: Cho tỉ lệ thức
dc
dc
ba
ba
73
132
73
132

+
=

+
. CMR:
d
c
b
a
=
Với các phơng pháp trên, trong phơng pháp giảng dạy học sinh giỏi môn
toán 7 đã làm cho các em t duy rất tốt, rèn luyện đợc ý thức tự tìm tòi độc lập suy
nghĩ để nhớ kỹ, nhớ lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu quả cao. Đó chính là
công cụ giải toán của mỗi học sinh. Ngoài ra phơng pháp này còn là công cụ đặc
biệt quan trọng cho các em giải dạng toán có lời văn về phần đại lợng tỷ lệ thuận,
đại lợng tỷ lệ nghịch, dạng toán chia tỉ lệ.
Dạng 4. Các bài toán về đại lợng tỷ lệ thuận, đại lợng
tỷ lệ nghịch, chia tỉ lệ.
Bài toán 1. Số học sinh khối 6; 7; 8; 9 của một trờng THCS lần lợt tỉ lệ với
9; 10; 11; 8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em.
Tính số học sinh của trờng đó?
Giải:
Gọi số học sinh của khối 6; 7; 8; 9 lần lợt là x, y, z, t ( x, y, z, t

N
*
)
Theo đầu bài ta có :
9 10 11 8
x y z t
= = =
và x t = 8
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

27
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011

9 10 11 8
x y z t
= = =

8
8
9 8 1
x t

= = =

Suy ra : x = 9 . 8 = 72 ; y = 10 . 8 = 8
z = 11 . 8 = 88 ; t = 8 . 8 = 64
Vậy số học sinh của 4 khối 6, 7, 8, 9 lần lợt là: 72; 80; 88; 64 học sinh.
Bài toán 2: Học sinh lớp 7A đợc chia thành ba tổ, cho biết số học sinh tổ 1, tổ 2,
tổ3 tỉ lệ với 2; 3; 4. Tìm số học sinh mỗi tổ của lớp 7A biết số học sinh lớp 7A là
45 học sinh.
Giải:
Gọi số học sinh của tổ 1, tổ 2, tổ 3 lần lợt là x, y, z ( x, y, z

N
*
)
Theo đầu bài ta có :
2 3 4
x y z
= =
và x + y + z = 45
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

2 3 4
x y z
= =
=
45
5
2 3 4 9
x y z
+ +
= =
+ +

Suy ra : x = 2 . 5 = 10
y = 3 . 5 = 15
z = 4 . 5 = 20
Vậy số học sinh của tổ 1, tổ 2, tổ 3 lần lợt là : 10 ; 15 ; 20 học sinh
Bài toán 3 : Chia số 136 thành 3 phần tỉ lệ nghịch với
8 8 5
; ;
7 9 7
?
Giải :
Gọi 3 phần đợc chia bởi số 136 là x; y; z ( x; y; z > 0)
Theo đề bài ta có:
z
7
5
y
9
8
x
7
8
==
(1) và x+ y + z = 136 (1)
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

28
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Chia cả 3 tỷ số của (1) cho BCNN ( 8; 5 ) = 40 ta có:
136
1
35 45 56 35 45 56 136
x y z x y z
+ +
= = = = =
+ +
x = 35 . 1 = 35
y = 45 . 1 = 45
z = 56 . 1 = 56
Vậy 3 phần đợc chia bởi số 136 là : 35 ; 45 ; 56
Bài toán 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 72 và các chữ
số của nó nếu xếp từ nhỏ đến lớn thì tỉ lệ với 1 ; 2 ; 3.
giải:
Gọi a, b, c là các chữ số phải tìm xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có:

6321
cbacba
++
===
(1)
Vì số phải tìm là bội của 72 nên
9cba
++

}27,18,9{273
++++
cbacba
(2)
Từ (1) suy ra
6cba
++
(3)
Từ (2) và (3) suy ra
18=++ cba
suy ra:

93.3
62.3
31.3
==
==
==
c
b
a
Vì số cần tìm chia hết cho 8 nên ta có số 936 thoả mãn điều kiện của đầu bài.
Bài toán 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tơng
ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào.
Giải:
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c.
Ba chiều cao tơng ứng là x, y, z. Diện tích tam giác là S
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

29
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Ta có:
z
S
c
y
S
b
x
S
a
2
;
2
;
2
===
(1)
Vì ba cạnh tỉ lệ với 2, 3, 4 nên :

432
cba
==
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
zyx
z
S
y
S
x
S
432
4
2
3
2
2
2
====
346
34
;
23
zyx
z
yy
x
==
==
Vậy chiều cao tơng ứng với ba cạnh tỉ lệ với các số 6; 4; 3.
Bài toán 6:Tìm hai số khác 0 biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với 5;1;12.
giải:
Gọi hai số phải tìm là a, b (
0,0

ba
), a > b ta có:
12
.
15
bababa
=

=
+
Xét
)(5
15
baba
baba
=+

=
+
2
3
6455
b
abababa
===+
Do đó
2
.
2
3 b
b
b
ba
==
Từ
)(12
12
.
1
baab
baba
==

Thay
2
.b
ba
=
vào ta có:
66
==
abab
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

30
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Thay a = 6 vào
ba
2
3
=
ta có:
41236
2
3
===
bbb
Vậy a = 6; b = 4.
Bài toán 7: Tìm số đo các góc của một tam giác biết rằng số đo các góc của tam
giác đó tỉ lệ với 2, 3, 4.
Giải:
Gọi số đo 3 góc của một tam giác là x, y, z
Theo đầu bài ta có :
2 3 4
x y z
= =

0
180x y z
+ + =
(Tổng 3 góc của một tam giác)
áp dụng tính chât của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
0
0
0 0 0 0 0 0
180
20
2 3 4 2 3 4 9
2.20 40 ; 3.20 60 ; 4.20 80
x y z x y z
x y z
+ +
= = = = =
+ +
= = = = = =
Vậy số đo 3 góc của một tam giác là: 20
0
; 60
0
; 80
0

Ngoài việc hớng dẫn học sinh tìm tòi những lời giải khác nhau cho bài toán,
tôi còn hớng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay đổi số liệu, dữ
kiện để có bài toán mới với phơng pháp giải tơng tự.
Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức.
Bài toán 1: Biết
4
x y z
a b c
= = =
. Tính A =
3 2
3 2
x y z
a b c
+
+
Giải:
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

31
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
Ta có:
3 2 3 2
4
3 2 3 2
x y z y z x y z
a b c b c a b c
+
= = = = = =
+
Vậy A = 4
Bài toán 2: Cho
2 3
2 3
x y z
P
x y z
+
=
+

Tính giá trị của biểu thức P biết các số x, y, z lần lợt tỉ lệ với 5; 4; 3
Giải:
Theo đầu bài ta có

2 3 2 3 2 3
5 4 3 8 9 5 8 9 5 8 9
2 3 2 3
4 6
x y z y z x y z x y z
x y z x y z
+ +
= = = = = =
+ +
+ +
= =
Suy ra :
2 3 4
2 3 6
x y z
P
x y z
+
= =
+
Bài toán 3: Cho
0
+++
dcba

cba
d
dba
c
dca
b
dcb
a
++
=
++
=
++
=
++
Tìm giá trị của:
cb
ad
ba
dc
da
cb
dc
ba
A
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Giải:
1
3( ) 3
a b c d a b c d
b c d a c d a b d a b c a b c d
+ + +
= = = = =
+ + + + + + + + + + +

(Vì
0
+++
dcba
)
=>3a = b+c+d;
3b = a+c+d
=> 3a-3b = b- a
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

32
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
=> 3(a- b) = -(a-b)
=>4(a-b) = 0 => a = b
Tơng tự => a = b = c = d => A = 4
Bài toán 4: Ba số a, b, c khác nhau và khác 0 thoả mãn điều kiện
a b c
b c a c a b
= =
+ + +
Chứng minh giá trị của biểu thức M
3
b c a c a b
a b c
+ + +
= = = =
Giải:
Ta có:
a b c
b c a c a b
= =
+ + +

Suy ra :
1 1 1
a b c
b c a c a b
+ = + = +
+ + +

a b c a b c a b c
b c a c a b
+ + + + + +
= =
+ + +
Mặt khác: a, b, c là 3 số khác nhau và khác 0 nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a + b + c = 0
Suy ra: a + b = - c ; b + c = - a ; a + c = - b
Thay vào biểu thức M ta có:M =
( 1) ( 1) ( 1) 3
a b c
a b c

= = = + + =
(đpcm)
III.KT QU NGHIấN CU:
Vi phng phỏp thc hin nh trờn hc sinh ó t tỡm ra kin thc mt cỏch
c lp tớch cc.Do ú hc sinh hng thỳ, hiu bi sõu sc t ú vn dng tt cỏc
phng phỏp trờn gii cỏc bi toỏn v dng bi toỏn cú liờn quan n tỉ lệ
thức. Đặc biệt với mỗi bài toán đa ra các em luôn tìm tòi nhiều cách giải khác nhau
và lựa chọn cách giải tối u nhất để làm. Qua dy i chng v ki m tra tụi thy
cht lng hc tp c nõng lờn mt cỏch rừ rt, s hc sinh yờu thớch toỏn
ngy cng nhiu, hc sinh ngy cng hng say hc tp v thu c kt qu tng
i kh quan.
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

33
Lớp Trớc khi thực hiện đề tài Sau khi thực hiện đề tài
Giỏi: 8 / 46

17,4% Giỏi: 20 / 46

43,5%
Khá: 16 / 46

34,8% Khá: 21 / 46

45,7%
7A Trung bình: 19 / 46

41,3% Trung bình: 5 / 46

10,8%

Yếu: 3 / 46

6,5% Yếu : 0%

Kém : 0% Kém: 0%

Giỏi: 1 / 39

2,5% Giỏi: 5/ 39

12,8%
Khá: 6 / 39

15,4% Khá: 13 / 39

33,3%
7C
Trung bình: 12 / 39

30,8% Trung bình: 14/ 39

36%

Yếu: 18 / 39

46,2% Yếu : 7/ 39

17,9%

Kém: 2 / 39

5,1 Kém: 0%
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

34
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
PH N TH BA
C .K T LU N V KHUY N NGH .
I. KT LUN:
Trong giai on mi hin nay, i mi phng phỏp ging dy l nhim v ht sc
quan trng , bn thõn tụi mong mun lm th no nõng cao cht lng ca hc
sinh nờn tụi c gng tỡm tũi v ng dng nhng cỏi mi . Để làm tốt đợc bài tập
dạng Tỉ lệ thứcnày học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức cơ bản nh : Định
nghĩa, tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Đối với ngời thầy Phải nghiên cứu kỹ mục tiêu của dạng toán cần truyền tải đến
học sinh . Qua đó nghiên cứu kỹ các tài liệu liên quan , có định hớng rõ ràng , thảo
luận tổ chuyên môn và trao đổi đồng nghiệp tìm ra giải pháp tối u, trong triển khai,
rút kinh nghiệm qua từng bài cụ thể, bổ sung kiến thức qua các tài liệu, tạp trí toán
học, các đề thi học sinh giỏi hàng năm
Đối với học sinh cần khơi dậy niềm hứng thú đam mê qua từng tiết học, bài tập
cụ thể, hoàn thành các bài tập đợc giao trao đổi thẳng thắn trực tiếp phần kiến thức
mà mình đã lĩnh hội đợc, những khó khăn vớng mắc khi thực hiện phần bài tập đ-
ợc giao, trao đổi những thông tin với bạn học qua đó rút ra phơng pháp học tập phù
hợp để đạt đợc kết quả cao .Tuy nhiên trong quá trình làm học sinh cần vận dụng
linh hoạt nội dung kiến thức trên vào từng bài cho phù hợp có nh vậy mới đạt đợc
hiệu quả tốt.
II. BI HOC KINH NGHIấM
Trên đây l m t s dạng toán thờng gặp trong chơng trình toán THCS. Mỗi
dạng toán có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia nhỏ từng dạng trong
mỗi
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

35
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Toán 7 Năm học : 2010 - 2011
dạng trên. Việc phân dạng nh trên giúp học sinh dễ tiếp thu hơn và thấy đợc trong từng
bài toán ta nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi dạng toán tôi chọn 1 số bài
toán cơ bản điển hình để học sinh hiểu cách làm, song sau khi gii giỏo viờn nờn
ch ra mt c im, mt hng gii quyt no ú khi gp cỏc bi tng t
hc sinh cú th liờn h c và từ đó để làm các bài tập mang tính tơng tự và dần
nâng cao lên. Trong quá trình làm dạng toán này tôi đặc biệt chú ý đến nội dung
các bài toán có sự sắp xếp theo trình tự từ dễ đến khó và các dạng rất phong phú, đa
dạng nhằm cung cấp cho học sinh lợng kiến thức phù hợp với khả năng nhận
thứcvà có sự phát triển khả năng t duy lôgíc. Bờn cnh ú mi giỏo viờn phi
khụng ngng n lc nm bt kp thi theo yờu cu i mi phng phỏp ging
dy, tham kho cỏc ti liu liờn quan n bi ging, cng c nõng cao chuyờn
mụn nghip v, khi ging dy hay bi dng mt vn no ú cú th t xõy
dng cho mỡnh mt h thng phng phỏp ging dy phự hp.
III. KHUYN NGH
Xu hng hin i hoỏ giỏo dc ng dng cụng ngh thụng tin vo ging dy
ang c chỳ trng, mi khi giỏo viờn thc hin dy giỏo ỏn in t thỡ phi mt
nhiu thi gian chun b phũng dy. Vy ngh cỏc cp trờn quan tõm v u
t nh trng cú nhng phũng b mụn phc v cho cụng tỏc ging dy tt
hn. Bờn cnh ú sỏch tham kho trng cũn hn ch c v cht lng ln s
lng u sỏch, cha ỏp ng c nhu cu ca giỏo viờn v hc sinh.
ngh phũng giỏo dc, nh trng u t thờm.
Vic i mi phng phỏp dy hc theo chiu hng tớch cc phỏt huy tớnh c
lp sỏng to ca hc sinh khụng th trong chốc lỏt m c mt quỏ trỡnh lõu
di. Mc tiờu cui cựng l hng dn hc sinh bit gii toỏn, hc toỏn v bit
vn dng toỏn hc vo cỏc b mụn khỏc cng nh vo thc t. Đề tài của tôi
cũng
Tác giả

: Vũ Thị Lan Trờng THCS Cao Viên

36

Tài liệu liên quan

Tài liệu mới nhất