Tiểu luận hình học giải tích khoa toán đại học sư phạm - Tài liệu tham khảo

TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
f/ Mặt paraboloit hypebolic (mặt yên ngựa) :
Từ các khái niệm về tâm , đường tiệm cận, đường kính liên hợp của đường bậc hai. Ta có
thể đưa ra các khái niệm tương tự liên quan tới mặt bậc hai sau:
II/ Tâm của mặt bậc hai:
Cho mặt bậc hai có phương trình: F(x,y,z) =0 . Điểm I
0 0 0
( , , )x y z
là tâm bậc hai của mặt
bậc hai đã cho nếu trong hệ trục tọa độ Ix’y’z’ , phương trình của (S) không chứa số hạng
bậc một .
Tịnh tiến hệ Oxyz sang Ix’y’z’ ta có:
'
0
'
0
x x x
y y y

= +


= +


Thay vào phương trình (*) ta có:
a
11
(x
0
+x’)
2
+a
22
(y
0
+y’)
2
+a
33
( z
0
+z’)
2
+ 2a
12
(x
0
+x’) (y
0
+y’) +2a
23
(y
0
+y’) ( z
0
+z’)
+ a
13
( z
0
+z’) (x
0
+x’) + 2a
1
(x
0
+x’) + 2a
2
(y
0
+y’) + 2a
3
( z
0
+z’) + a
0
=0
 a
11
x’
2
+a
22
y’
2
+ a
33
z’
2
+ (2a
11
x
0
+2a
12
y
0
+2a
13
z
0
+2a
1
)x’
+ (2a
12
x
0
+ 2a
22
y
0
+ 2a
23
z
0
+ 2a
2
)y’

+(2a
13
x
0
+ 2a
23
y
0 +
2a
33
z
0
+ 2a
3
)z’ + F(x
0
,y
0
,z
0
) =0 (2)
Phương trình (2) không chứa số hạng x’, y’ khi và chỉ khi x
0
, y
0
, z
0
thỏa mãn hệ:

0 0 0
0 0 0
0 0 0
' ( , , ) 0
' ( , , ) 0
' ( , , ) 0
x
y
z
F x y z
F x y z
F x y z

=

=


=

III/ Phương tiệm cận,mặt kính liên hợp với một phương.
Xét đường thẳng d qua M(x
0
,y
0
,z
0
), VTCP
( , , )v
α β γ
=
r

78
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
Xét phương trình giao điểm của (d) và mặt (S) :
2 2 2
11 0 22 0 33 0 12 0 0
13 0 0 23 0 0
1 0 2 0 3 0 0
( ) ( ) ( ) 2 ( )( )
2 ( )( ) 2 ( )( )
( ) ( ) ( ) 0
a x t a y t a z t a x t y t
a x t z t a y t z t
a x t a y t a z t a
α β γ α β
α γ β γ
α β γ
+ + + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + + + =
Khai triển phương trình trên ta được phương trình bậc hai theo ẩn t có dạng :
Pt
2
+ Qt + R =0
+) Nếu phương trình trên chỉ có một nghiệm thì (d) và mặt chỉ có một điểm chung ở phần hữu
hạn của không gian, ta bảo d có phương tiệm cận đối với mặt.Khi đó P=0.
+) Nếu đường thẳng d có phương khác phương tiệm cận giao với mặt tại M
1
, M
2
.Tập hợp các
trung điểm của

M
1
M
2
là một mặt kính liên hợp với phương .
Khi đó phương trình của mặt kính liên hợp với phương có dạng :
F
x
’(x
0
, y
0
, z
0
) + β F
y
’(x
0
, y
0
, z
0
) + γ F
z
’(x
0
, y
0
, z
0
) =0
Nhận xét: Mặt kính liên hợp luôn di qua tâm của mặt bậc hai.
79
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 19 : PHÂN LOẠI MẶT BẬC HAI
Tên đường Aphin Trực chuẩn
Hyperboloit 1 tầng
Hyperboloit 2 tầng
Elipxoic thực
Elipxoic ảo
Nón thực
Nón ảo
Paraboloit Hyperbolit
Paraboloit eliptic
Trụ elliptic thực
Trụ elliptic ảo
Trụ hyperbol thực
Trụ hyperbol ảo
Trụ parabolic
Cặp mặt phẳng ảo căt
nhau
Cặp mặt phẳng thực
căt nhau
Cặp mặt phẳng thực
song song
Cặp mặt phẳng ảo song
song
Cặp măt phẳng trùng
nhau
80
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
81
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 20 : MẶT KẺ
I/ Khái niệm mặt kẻ:
Trong các mặt bậc hai (17 mặt), nếu loại trừ những mặt suy biến thành cặp mặt phẳng,
ta còn lai những mặt không suy biến.
Đối với những mặt không suy biến, qua một điểm bất kì của mặt, ta kẻ được 1 đường
thẳng nằm trên mặt, ta gọi là măt kẻ.
Đừơng thẳng đi qua 1 điểm trên mặt và nằm trên mặt gọi là đường sinh thẳng
Mặt nón, mặt trụ, mặt hypecboloit là những mặt kẻ
II/ Các mặt kẻ thường gặp:
1/ Mặt trụ: Từ mọi điểm M trên mặt trụ đều có thể vẽ 1 đường thẳng song song với
đường cao nằm hoàn toàn trên mặt.
:
2/ Mặt nón: Từ mọi điểm M trên mặt đều có thể vẽ 1 đường thẳng nằm hoàn toàn trên
mặt
3/ Mặt hypeboloid 1 tầng:
* Ta tìm họ đường sinh thẳng trên mặt hypecboloit 1 tầng

2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
+ − =
82
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36

2 2 2
2 2 2
1
1 1
1
( )
1
' ' 1
( ')
' ' 1
y z x
b c a
y z y z x x
b c b c a a
y z x
u
b c a
d
y z x
u
b c a
y z x
u
b c a
d
y z x
u
b c a
λ
λ
λ
λ
⇔ − = −
     
⇔ + − = − +
     
     

   
+ = +
   

    

   

+ = −
   

   


   
+ = +
   

    

   

+ = −
   

   

Vậy có 2 đường thẳng (d) va (d’) nằm trên mặt vậy mặt hypecboloit 1 tầng là mặt kẻ.
4/ Mặt paraboloic hypebolic (mặt yên ngựa) :
2 2
2 2
x y
z
a b
− =
( )
' '
( ')
' '
y x x y
z
b a z b
y x
uz
b a
d
x y
u z
a b
y x
u z
b a
d
x y
u z
a b
λ
λ
λ
λ
  
⇔ + − =
  
  

 
+ =
 

  

 

− =
 

 


 
− =
 

  

 

+ =
 

 

Vậy có 2 đường thẳng (d) va (d’) nằm trên mặt vậy mặt yên ngựa là mặt kẻ.
83
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
BÀI 21: CÁC DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN
ĐẾN MẶT KẺ BẬC HAI
I /Dạng 1: Lập phương trình mặt kẻ bậc hai thoả yêu cầu bài toán.
Bài 20.1/ Lập phương trình mặt nón đỉnh tại gốc tọa độ và đường chuẩn cho bởi
phương trình:

2 2 2
( 5) 0
4
x y z
z

+ + − =


=


Giải:
Gọi mặt nón cần tìm là (S)
(S) có đỉnh tại gốc toạ độ

phương trình đường sinh của (S) là
1
x y z
m n
= =
( với
,m n
là những tham số biến
thiên)
Đường sinh dựa trên đừơng chuẩn đã cho nên
, ,x y z
là nghiệm của hê pt sau:

2 2 2
( 5) 0
4
1
x y z
z
x y z
m n


+ + − =

=



= =

2 2 2
( 5) 0
4
x y z
z
x mz
y nz

+ + − =

=



=


=

2 2 2
( ) ( ) (4 5) 0mz nz
x
m
z
y
n
z


+ + − =


⇒ =



=


84
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
2 2
2 2
2 2 2
2 2
1
2
1
2 2 0
2
m n
x x y
m x y z
z
z z
y
n
z

+ =



⇔ = ⇒ + = ⇔ + − =



=


Vậy phương trình mặt nón phải tìm là
2 2 2
2 2 0x y z+ − =
Bài 20.2/ Lập phương trình mặt nón đỉnh tại
( 3,0,0)−
và đường chuẩn cho bởi phương
trình:
2 2
3 6 0, 1x y z x y z+ − = + + =
Giải:
Gọi mặt nón cần tìm là (S)
(S) có đỉnh là
( 3,0,0)−

phương trình đường sinh của (S) là
3
1
x y z
m n
+
= =
( với
,m n
là những tham số biến
thiên)
Đường sinh dựa trên đừơng chuẩn đã cho nên
, ,x y z
là nghiệm của hê pt sau:

2 2
3 6 0
1
3
1
x y z
x y z
x y z
m n


+ − =

+ + =


+

= =

2 2
3 6 0
1
3
x y z
x y z
x mz
y nz

+ − =

+ + =



= −


=

2 2
3( 3) 6( ) 0
3 1
3
mz nz z
mz nz z
x mz
y nz

− + − =

− + + =



= −


=

2 2
3( 3) 6( ) 0
( 1) 4
3
mz nz z
m n z
x mz
y nz

− + − =

+ + =



= −


=

85
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
2 2
3( 3) 6( ) 0
4

1
3
mz nz z
z
m n
x mz
y nz

− + − =


 =


+ +

= −

=


2 2
4 4 4
3( . 3) 6( . ) 0
1 1 1
4
1

3
m n
m n m n m n
z
m n
x
m
z
y
n
z

− + − =

+ + + + + +


=

+ +


+

=



=

Rút gọn phương trình đầu tiên, sau đó thế n,m bằng phương trình thứ ba và tư
Sau cùng ta được phương trình mặt nón phải tìm là:
2 2 2
3 123 23 18 22 50 18 54 66 27 0x y z xy xz yz x y z+ + − − + + − − + =
Bài 20.3/ Lập phương trình của mặt trụ có đường chuẩn
2 2
25
0
x y
z

+ =


=


Và phương của đường sinh:
(5,3,2)
Giải:
Gọi mặt trụ cần tìm là (D)
Mặt trụ (D) có phương đường sinh:
(5,3,2)

Phương trình đường sinh của (D) là :
5 3
1
2 2
x a y b z− −
= =

sinh dựa trên đừơng chuẩn đã cho nên
, ,x y z
là nghiệm của hê pt sau:

2 2
25
0
5 3
1
2 2
x y
z
x a y b z



+ =


=


− −

= =



86
TIỂU LUẬN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH - SƯ PHẠM TPHCM KHÓA 36
2 2
25
0
5
2
3
2
x y
z
x z a
y z b

+ =

=




= +


= +


2 2
5 3
( ) ( ) 25
2 2
0
5
2
3
2
z a z b
z
x z a
y z b

+ + + =


=




= +



= +


2 2
2 2
25
0
5 3
5
( ) ( ) 25
2 2
2
3
2
a b
z
x z y z
a x z
b y z

+ =

=


⇔ ⇒ − + − =

= −


= −


Vậy phương trình mặt trụ phải tìm là
2 2
5 3
( ) ( ) 25
2 2
x z y z− + − =
Bài tập tự giải:
1) Lập phương trình mặt nón đỉnh tại
(4,0, 3)−
và đường chuẩn cho bởi phương
trình:
2 2
1, 0
25 9
x z
x+ = =
2) Lập phương trình của mặt trụ có đường chuẩn:
2 2 2
( 1) ( 3) ( 2) 25
2 0
x y z
x y z

− + + + − =


+ − + =



và đường sinh
a) Song song với trục Ox;
b) Song song với đường thẳng:
, 0x y z= =
.
II /Dạng 2: Giao của mặt kẻ bậc hai với đường thẳng, mặt phẳng
PHƯƠNG PHÁP CHUNG: Từ phương trình của đường thẳng (mặt phẳng), kết hợp với
phương trình của mặt ta sẽ được một hệ phương trình giao. Giải hệ tìm tọa độ giao điểm đối
với trường hợp đuờng thẳng và dùng định nghĩa (hoặc lý thuyết tổng quát) về mặt bậc hai để
xét vị trí tương đối của nó đối với trường hợp mặt phẳng. Cụ thể ta xét các ví dụ sau đây:
87

Tài liệu liên quan

Tài liệu mới nhất